Institutt: Høyere matematikk

Essay

i faget "Høyere matematikk"

Emne: "Grense og kontinuitet for funksjoner til flere variabler"

Tolyatti, 2008

Introduksjon

Konseptet med en funksjon av én variabel dekker ikke alle avhengigheter som finnes i naturen. Selv i de enkleste problemene er det mengder hvis verdier bestemmes av kombinasjonen av verdiene til flere mengder.

For å studere slike avhengigheter introduseres konseptet med en funksjon av flere variabler.

Begrepet en funksjon av flere variabler

Definisjon. Omfanget u kalles en funksjon av flere uavhengige variabler ( x, y, z, …, t), hvis hvert sett med verdier av disse variablene er assosiert med en viss verdi av mengden u.

Hvis variabelen er en funksjon av to variabler X Og på, så er den funksjonelle avhengigheten betegnet

z = f (x, y).

Symbol f definerer her et sett med handlinger eller en regel for å beregne en verdi z for et gitt verdipar X Og på.

Så for funksjonen z = x 2 + 3xy

på X= 1 og på= 1 vi har z = 4,

på X= 2 og på= 3 vi har z = 22,

på X= 4 og på= 0 vi har z= 16 osv.

Mengden kalles på samme måte u funksjon av tre variabler x, y, z, hvis en regel er gitt, som for en gitt trippel av verdier x, y Og z beregne tilsvarende verdi u:

u = F (x, y, z).

Her er symbolet F definerer et sett med handlinger eller en regel for å beregne en verdi u, tilsvarende disse verdiene x, y Og z.

Så for funksjonen u = xy + 2xz – 3yz

på X = 1, på= 1 og z= 1 vi har u = 0,

på X = 1, på= -2 og z= 3 vi har u = 22,

på X = 2, på= -1 og z= -2 vi har u = -16 osv.

Således, hvis, i kraft av noen lov for hver populasjon P tall ( x, y, z, …, t) fra et sett E tildeler en bestemt verdi til en variabel u, deretter u kalt en funksjon av P variabler x, y, z, …, t, definert på settet E, og er betegnet

u = f(x, y, z, …, t).

Variabler x, y, z, …, t kalles funksjonsargumenter, sett E– definisjonsdomene for funksjonen.

Delverdien til en funksjon er verdien av funksjonen på et tidspunkt M 0 (x 0 , y 0 , z 0 , …, t 0) og er utpekt f (M 0) = f (x 0 , y 0 , z 0 , …, t 0).

Domenet til en funksjon er settet med alle argumentverdier som tilsvarer eventuelle reelle verdier av funksjonen.

Funksjon av to variabler z = f (x, y) i rommet er det representert av en overflate. Det vil si når et punkt med koordinater X, på går gjennom hele definisjonsdomenet til funksjonen som ligger i planet xOy, det tilsvarende romlige punktet, generelt sett, beskriver overflaten.

Funksjon av tre variabler u = F (x, y, z) betraktet som en funksjon av et punkt i et visst sett med punkter i tredimensjonalt rom. Tilsvarende funksjonen P variabler u = f(x, y, z, …, t) betraktes som en funksjon av et poeng av noen P-dimensjonalt rom.

Begrensning av en funksjon av flere variabler

For å gi begrepet grensen for en funksjon av flere variabler, begrenser vi oss til tilfellet med to variabler X Og på. Per definisjon, funksjon f (x, y) har en grense på punktet ( X 0 , på 0), lik tallet EN, angitt som følger:

(1)

(skriver de også f (x, y) →EN på (x, y) → (X 0 , på 0)), hvis det er definert i et område av punktet ( X 0 , på 0), bortsett fra kanskje på dette punktet selv og hvis det er en grense

(2)

uansett tendens til ( X 0 , på 0) sekvens av punkter ( x k, y k).

Akkurat som når det gjelder en funksjon av en variabel, kan en annen ekvivalent definisjon av grensen for en funksjon av to variable introduseres: funksjon: f har på punktet ( X 0 , på 0) grense lik EN, hvis det er definert i et område av punktet ( X 0 , på 0) bortsett fra kanskje for dette punktet selv, og for enhver ε > 0 er det en δ > 0 slik at

| f (x, y) – EN| < ε(3)

for alle (x, y) , som tilfredsstiller ulikhetene

< δ. (4)

Denne definisjonen tilsvarer i sin tur følgende: for enhver ε > 0 er det et δ-nabolag til punktet ( X 0 , på 0) slik at for alle ( x, y) fra dette nabolaget, forskjellig fra ( X 0 , på 0), er ulikhet (3) tilfredsstilt.

Siden koordinatene til et vilkårlig punkt ( x, y) området til punkt ( X 0 , på 0) kan skrives som x = x 0 + Δ X, y = y 0 + Δ på, så er likhet (1) ekvivalent med følgende likhet:

La oss vurdere en funksjon definert i et nabolag av punktet ( X 0 , på 0), bortsett fra kanskje selve punktet.

La ω = (ω X, ω på) – en vilkårlig vektor med lengde én (|ω| 2 = ω X 2 + ω på 2 = 1) og t> 0 – skalar. Utsiktspunkter

(X 0 + tω X, y 0 + tω på) (0 < t)

danner en stråle som kommer fra ( X 0 , på 0) i retning av vektoren ω. For hver ω kan vi vurdere funksjonen

f(X 0 + tω X, y 0 + tω på) (0 < t< δ)

fra en skalarvariabel t, hvor δ er et ganske lite tall.

Grensen for denne funksjonen (én variabel) t)

f(X 0 + tω X, y 0 + tω på),

hvis det finnes, er det naturlig å kalle det en grense f på punktet ( X 0 , på 0) i retning ω.

Eksempel 1. Funksjoner

definert på flyet ( x, y) bortsett fra poenget X 0 = 0, på 0 = 0. Vi har (ta hensyn til det

Og ):

(for ε > 0 setter vi δ = ε/2 og deretter | f (x, y) | < ε, если

< δ).

hvorfra det er klart at grensen φ ved punktet (0, 0) i forskjellige retninger generelt er forskjellig (enhetsvektoren til strålen y = kx, X> 0, har formen

).

Eksempel 2. La oss vurdere inn R 2 funksjon

(X 4 + på 2 ≠ 0).

Denne funksjonen ved punktet (0, 0) på en hvilken som helst linje y = kx passerer gjennom origo har en grense lik null:

på X → 0.

Denne funksjonen har imidlertid ingen grense på punktene (0, 0), fordi når y = x 2

Og

Vil skrive

, hvis funksjon f er definert i et område av punktet ( X 0 , på 0), bortsett fra kanskje selve punktet ( X 0 , på 0) og for alle N> 0 er det δ > 0 slik at

|f (x, y) | > N,

så snart 0<

< δ.

Vi kan også snakke om grensen f, Når X, på → ∞:

(5)

For eksempel når det gjelder et endelig tall EN likhet (5) må forstås på den måten at for hver ε > 0 er det slik N> 0, som er for alle X, på, for hvilken | x| > N, |y| > N, funksjon f definert og ulikhet holder

Funksjonsbegrepene til to eller tre variabler diskutert ovenfor kan generaliseres til tilfellet med variabler.

Definisjon. Funksjon variabler
kalt en funksjon, definisjonsdomene
som hører til
, og verdiområdet er den virkelige aksen.

En slik funksjon for hvert sett med variabler
fra
samsvarer med entall .

I det følgende vil vi for nøyaktighets skyld vurdere funksjonene
variabler, men alle utsagn formulert for slike funksjoner forblir sanne for funksjoner med et større antall variabler.

Definisjon. Antall kalt funksjonens grense

på punktet
, hvis for hver
det er et slikt tall
det foran alle
fra nabolaget
, bortsett fra dette punktet, gjelder ulikheten

.

Hvis grensen for funksjonen
på punktet
er lik , så er dette angitt i skjemaet

.

Nesten alle egenskapene til grenser som vi vurderte tidligere for funksjoner til en variabel, forblir gyldige for grenser for funksjoner til flere variabler, men vi vil ikke behandle den praktiske bestemmelsen av slike grenser.

Definisjon. Funksjon
kalt kontinuerlig på et punkt
hvis tre betingelser er oppfylt:

1) eksisterer

2) det er en verdi av funksjonen i punktet

3) disse to tallene er like med hverandre, dvs. .

I praksis kan vi studere kontinuiteten til en funksjon ved å bruke følgende teorem.

Teorem. Enhver elementær funksjon
er kontinuerlig på alle interne (dvs. ikke-grense) punkter i sitt definisjonsdomene.

Eksempel. La oss finne alle punktene der funksjonen

kontinuerlige.

Som nevnt ovenfor er denne funksjonen definert i en lukket sirkel

.

De indre punktene i denne sirkelen er de ønskede kontinuitetspunktene til funksjonen, dvs. funksjon
kontinuerlig i en åpen sirkel
.

Definisjon av begrepet kontinuitet ved grensepunktene for definisjonsdomenet
funksjoner er mulige, men vi vil ikke diskutere dette i kurset.

1.3 Delvise inkrementer og partielle derivater

I motsetning til funksjoner til en variabel, har funksjoner til flere variabler forskjellige typer inkrementer. Dette skyldes det faktum at bevegelser i flyet
fra punkt
kan utføres i ulike retninger.

Definisjon. Delvis økning med funksjoner
på punktet
tilsvarende økning
kalt forskjell

Denne økningen er i hovedsak en økning av en funksjon av en variabel
hentet fra funksjonen
ved konstant verdi
.

Tilsvarende med delvis økning på punktet
funksjoner
tilsvarende økning
kalt forskjell

Denne økningen beregnes til en fast verdi
.

Eksempel. La

,
,
. La oss finne de delvise økningene av denne funksjonen ved og av

I dette eksemplet, med like verdier av argumentøkninger
Og
, viste de delvise økningene av funksjonen seg å være annerledes. Dette skyldes det faktum at arealet av et rektangel med sider
Og
når du øker siden på
øker med beløpet
, og med økende side på
øker med
(se fig. 4).

Fra det faktum at en funksjon av to variabler har to typer inkrementer, følger det at to typer derivater kan defineres for den.

Definisjon. Delvis avledet mht funksjoner
på punktet
kalles grensen for forholdet til den partielle økningen med av denne funksjonen ved det angitte punktet til inkrementet
argument de.

. (1)

Slike partielle derivater er merket med symbolene ,,,. I de sistnevnte tilfellene er den runde bokstaven " ” – “" betyr ordet "privat".

Tilsvarende er den partielle deriverte mht på punktet
bestemmes ved hjelp av grensen

. (2)

Andre notasjoner for denne delvise deriverte: ,,.

Partielle deriverte av funksjoner finnes i henhold til de kjente reglene for å differensiere en funksjon av en variabel, mens alle variabler bortsett fra den som funksjonen er differensiert med anses som konstante. Så når du finner variabel tas som en konstant, og når funnet - konstant .

Eksempel. La oss finne de partielle deriverte av funksjonen
.

,
.

Eksempel. La oss finne de partielle deriverte av en funksjon av tre variabler

.

;
;
.

Partielle deriverte funksjoner
karakterisere endringshastigheten til denne funksjonen i tilfelle når en av variablene er fast.

Et eksempel innen økonomi.

Hovedbegrepet i forbruksteori er nyttefunksjonen
. Denne funksjonen uttrykker nytten av et sett
, hvor x er mengden av produkt X, y er mengden av produkt Y. Deretter de partielle derivatene
vil bli kalt marginalnyttene til henholdsvis x og y. Marginal substitusjonsrate
en vare til en annen er lik forholdet mellom deres marginale nytteverdier:

. (8)

Oppgave 1. Finn marginalgraden for substitusjon h med y for nyttefunksjonen i punkt A(3,12).

Løsning: i henhold til formel (8) får vi

Den økonomiske betydningen av den marginale substitusjonsraten ligger i underbyggelsen av formelen
, Hvor -pris på produkt X, - pris på varer U.

Definisjon. Hvis funksjonen
det er partielle derivater, så er dens partielle differensialer uttrykkene

Og

Her
Og
.

Partielle differensialer er differensialer av funksjoner til en variabel hentet fra en funksjon av to variabler
på fast eller .

Eksempler fra økonomi. La oss ta Cobb-Douglas-funksjonen som et eksempel.

Omfanget - gjennomsnittlig arbeidsproduktivitet, siden dette er mengden produkter (i verdi) produsert av en arbeider.

Omfanget
- gjennomsnittlig kapitalproduktivitet - antall produkter per maskin.

Omfanget
- gjennomsnittlig kapital-arbeidsforhold - kostnaden for midler per enhet arbeidsressurser.

Derfor den partielle deriverte
kalles arbeidskraftens marginale produktivitet fordi den er lik merverdien av produksjonen produsert av en ekstra arbeider.

Like måte,
- marginal kapitalproduktivitet.

I økonomi stilles det ofte spørsmål: med hvor stor prosentandel vil produksjonen endre seg hvis antall arbeidere øker med 1 % eller hvis midlene øker med 1 %? Svarene på slike spørsmål er gitt av begrepene elastisitet til en funksjon med hensyn til argument eller relativ derivert. Finn elastisiteten til produksjonen i forhold til arbeidskraft
. Erstatter den partielle deriverte beregnet ovenfor i telleren , vi får
. Så parameteren har en klar økonomisk betydning - det er elastisiteten til produksjonen med hensyn til arbeidskraft.

Parameteren har en lignende betydning er elastisiteten til produksjon på tvers av fond.

Definisjon av en funksjon av flere variabler. Enkle konsepter.

Hvis hvert tallpar (x, y) uavhengig av hverandre fra et bestemt sett, ifølge en regel, er assosiert med én verdi av variabelen z, kalles det funksjon av to variabler. z=f(x,y,)

Domene til funksjonen z- et sett med par (x, y) som funksjonen z eksisterer for.

Settet med verdier (verdiområdet) til en funksjon er alle verdiene som funksjonen tar i sitt definisjonsdomene.

Graf av en funksjon av to variabler - et sett med punkter P hvis koordinater tilfredsstiller ligningen z=f(x,y)

Nabolaget til et punkt M0 (x0;y0) med radius r– settet av alle punkter (x,y) som tilfredsstiller betingelsen< r

Definisjonsdomenet og verdiområdet til en funksjon av flere variabler. Graf av en funksjon av flere variabler.

Begrensning og kontinuitet for en funksjon av flere variabler.

Begrensning av en funksjon av flere variabler

For å gi begrepet grensen for en funksjon av flere variabler, begrenser vi oss til tilfellet med to variabler X Og på. Per definisjon, funksjon f(x,y) har en grense på punktet ( X 0 , på 0), lik tallet EN, angitt som følger:

(1)

(skriver de også f(x,y)→EN på (x, y)→ (X 0 , på 0)), hvis det er definert i et område av punktet ( X 0 , på 0), bortsett fra kanskje på dette punktet selv og hvis det er en grense

(2)

uansett tendens til ( X 0 , på 0) sekvens av punkter ( x k, y k).

Akkurat som når det gjelder en funksjon av en variabel, kan en annen ekvivalent definisjon av grensen for en funksjon av to variable introduseres: funksjon: f har på punktet ( X 0 , på 0) grense lik EN, hvis det er definert i et område av punktet ( X 0 , på 0) bortsett fra kanskje for dette punktet selv, og for enhver ε > 0 er det en δ > 0 slik at

| f(x,y) – EN| < ε (3)

for alle (x, y), som tilfredsstiller ulikhetene

0 < < δ. (4)

Denne definisjonen tilsvarer i sin tur følgende: for enhver ε > 0 er det et δ-nabolag til punktet ( X 0 , på 0) slik at for alle ( x, y) fra dette nabolaget, forskjellig fra ( X 0 , på 0), er ulikhet (3) tilfredsstilt.

Siden koordinatene til et vilkårlig punkt ( x, y) området til punkt ( X 0 , på 0) kan skrives som x = x 0 + Δ X, y = y 0 + Δ på, så er likhet (1) ekvivalent med følgende likhet:

La oss vurdere en funksjon definert i et nabolag av punktet ( X 0 , på 0), bortsett fra kanskje selve punktet.

La ω = (ω X, ω på) – en vilkårlig vektor med lengde én (|ω| 2 = ω X 2 + ω på 2 = 1) og t> 0 – skalar. Utsiktspunkter

(X 0 + tω X, y 0 + tω på) (0 < t)

danner en stråle som kommer fra ( X 0 , på 0) i retning av vektoren ω. For hver ω kan vi vurdere funksjonen

f(X 0 + tω X, y 0 + tω på) (0 < t< δ)

fra en skalarvariabel t, hvor δ er et ganske lite tall.

Grensen for denne funksjonen (én variabel) t)

f(X 0 + tω X, y 0 + tω på),

hvis det finnes, er det naturlig å kalle det en grense f på punktet ( X 0 , på 0) i retning ω.

Eksempel 1. Funksjoner

definert på flyet ( x, y) bortsett fra poenget X 0 = 0, på 0 = 0. Vi har (ta hensyn til det Og ):

(for ε > 0 setter vi δ = ε/2 og deretter | f(x,y)| < ε, если < δ).

hvorfra det er klart at grensen φ ved punktet (0, 0) i forskjellige retninger generelt er forskjellig (enhetsvektoren til strålen y = kx, X> 0, har formen

).

Antall EN kalt funksjonens grense f(M) på M → M 0 hvis for et hvilket som helst tall ε > 0 er det alltid et tall δ > 0 slik at for alle punkter M, annerledes enn M 0 og tilfredsstiller betingelsen | MM 0 | < δ, будет иметь место неравенство |f(M) – EN | < ε.

Grense angir Når det gjelder en funksjon av to variabler

Grensesetninger. Hvis funksjonene f 1 (M) Og f 2 (M) på M → M 0 pleier hver til en begrenset grense, da:

V)

Kontinuitet av en funksjon av flere variabler

Per definisjon, funksjon f(x,y) er kontinuerlig på punktet ( X 0 , på 0), hvis den er definert i noe av nabolaget, inkludert på selve punktet ( X 0 , på 0) og hvis grensen f(x,y) på dette tidspunktet er lik verdien på det:

(1)

Kontinuitetstilstand f på punktet ( X 0 , på 0) kan skrives i tilsvarende form:

(1")

de. funksjon f er kontinuerlig på punktet ( X 0 , på 0), hvis funksjonen er kontinuerlig f(x 0 + Δ X, på 0 + Δ y) på variablene Δ X, Δ på ved Δ X = Δ y = 0.

Du kan angi et trinn Δ Og funksjoner Og = f(x,y) på punktet (x, y), tilsvarende trinn Δ X, Δ på argumenter

Δ Og = f(x + Δ X, på + Δ y) – f(x,y)

og i dette språket definere kontinuitet f V (x, y): funksjon f kontinuerlig på et punkt (x, y), Hvis

(1"")

Teorem. Sum, forskjell, produkt og kvotient av kontinuerlig ved punktet ( X 0 ,på 0) funksjoner f og φ er en kontinuerlig funksjon på dette punktet, med mindre, selvfølgelig, i tilfelle av en kvotient φ ( X 0 , på 0) ≠ 0.

Konstant Med kan betraktes som en funksjon f(x,y) = Med fra variabler x,y. Det er kontinuerlig i disse variablene fordi

|f(x,y) – f (X 0 , på 0) | = |s – s| = 0 0.

De neste vanskeligste funksjonene er f(x,y) = X Og f(x,y) = på. De kan også betraktes som funksjoner av (x, y), og samtidig er de kontinuerlige. For eksempel funksjonen f(x,y) = X matcher hvert poeng (x, y) et tall lik X. Kontinuitet av denne funksjonen på et vilkårlig punkt (x, y) kan bevises slik:

| f(x + Δ X, på + Δ y) – f(x,y) | = |f(x + Δ x) – x| = | Δ X | ≤ 0.

Hvis du produserer over funksjoner x, y og konstante handlinger av addisjon, subtraksjon og multiplikasjon i et endelig tall, da vil vi få funksjoner som kalles polynomer i x, y. Basert på egenskapene formulert ovenfor, polynomer i variabler x, y– kontinuerlige funksjoner av disse variablene for alle punkter (x, y) R 2 .

Holdning P/Q to polynomer fra (x, y) er en rasjonell funksjon av (x,y), åpenbart kontinuerlig overalt på R 2, unntatt poeng (x, y), Hvor Q(x, y) = 0.

P(x,y) = X 3 – på 2 + X 2 på – 4

kan være et eksempel på et polynom fra (x, y) tredje grad, og funksjonen

P(x,y) = X 4 – 2X 2 på 2 +på 4

det er et eksempel på et polynom fra (x, y) fjerde grad.

La oss gi et eksempel på et teorem som angir kontinuiteten til en funksjon av kontinuerlige funksjoner.

Teorem. La funksjonen f(x, y, z) kontinuerlig på et punkt (x 0 , y 0 , z 0 ) rom R 3 (poeng (x, y, z)), og funksjonene

x = φ (u, v), y= ψ (u, v), z= χ (u, v)

kontinuerlig på et punkt (u 0 ,v 0 ) rom R 2 (poeng (u, v)). La i tillegg

x 0 = φ (u 0 ,v 0 ), y 0 = ψ (u 0 ,v 0 ), z 0 = χ (u 0 ,v 0 ) .

Deretter funksjonen F(u, v) = f[ φ (u, v),ψ (u, v),χ (u, v)] er kontinuerlig (av

(u, v)) på punktet (u 0 ,v 0 ) .

Bevis. Siden tegnet på grensen kan plasseres under tegnet av egenskapen til en kontinuerlig funksjon, da

Teorem. Funksjon f(x,y), kontinuerlig på punktet ( X 0 , på 0) og ikke lik null på dette punktet, bevarer tegnet til tallet f(X 0 , på 0) i et eller annet nabolag av punktet ( X 0 , på 0).

Per definisjon, funksjon f(x) = f(x 1 , ..., x p) kontinuerlig på et punkt X 0 =(X 0 1 , ..., X 0 P), hvis det er definert i noe av nabolaget, inkludert på selve punktet X 0, og hvis grensen er på punktet X 0 er lik verdien i den:

(2)

Kontinuitetstilstand f på punktet X 0 kan skrives i ekvivalent form:

(2")

de. funksjon f(x) kontinuerlig på et punkt X 0 hvis funksjonen er kontinuerlig f(x 0 +h) fra h på punktet h = 0.

Du kan angi et inkrement f på punktet X 0 som tilsvarer økning h = (h 1 , ..., h p),

Δ h f (x 0 ) = f (x 0 + h) – f(x 0 )

og i hans språk definere kontinuitet f V X 0: funksjon f kontinuerlig inn X 0 hvis

Teorem. Sum, forskjell, produkt og kvotient av kontinuerlig på et punkt X 0 funksjoner f(x) og φ (x) er en kontinuerlig funksjon på dette punktet, hvis det selvfølgelig gjelder en bestemt φ (X 0 ) ≠ 0.

Kommentar. Øk Δ h f (x 0 ) også kalt den fullstendige økningen av funksjonen f på punktet X 0 .

I verdensrommet Rn poeng X = (x 1 , ..., x p) la oss sette et sett med punkter G.

A-priory X 0 = (X 0 1 , ..., X 0 P) er det indre punktet i settet G, hvis det er en åpen ball med senter i, helt tilhørende G.

En haug med G Rn kalles åpen hvis alle punktene er indre.

De sier at funksjonene

X 1 = φ 1 (t), ..., x n =φ p(t) (a ≤ t ≤ b)

kontinuerlig på segmentet [ en, b], definerer en kontinuerlig kurve i Rn, kobler punktene X 1 = (X 1 1 , ..., X 1 P) Og X 2 = (X 2 1 , ..., X 2 P), Hvor X 1 1 = φ 1 (EN), ..., X 1 n =φ p(a), X 2 1 = φ 1 (b), ..., X 2 n =φ p(b). Brev t kalt kurveparameteren.

Grensen for en funksjon av to variabler.
Konsept og eksempler på løsninger

Velkommen til den tredje leksjonen om emnet FNP, hvor all din frykt endelig begynte å gå i oppfyllelse =) Som mange mistenkte, strekker begrepet grense seg også til en funksjon av et vilkårlig antall argumenter, som er det vi må finne ut i dag. Det er imidlertid noen optimistiske nyheter. Den består i at grensen til en viss grad er abstrakt og tilsvarende oppgaver er ekstremt sjeldne i praksis. I denne forbindelse vil vår oppmerksomhet være fokusert på grensene for en funksjon av to variabler eller, som vi oftere skriver det: .

Mange av ideene, prinsippene og metodene ligner teorien og praksisen til "konvensjonelle" grenser, noe som betyr at du på dette punktet bør kunne finne grenser og viktigst av alt FORSTÅ hva det er grensen for en funksjon av en variabel. Og siden skjebnen brakte deg til denne siden, så forstår og vet du mest sannsynlig allerede mye. Og hvis ikke, er det greit, alle hullene kan virkelig fylles i løpet av timer og til og med minutter.

Begivenhetene i denne leksjonen finner sted i vår tredimensjonale verden, og derfor ville det ganske enkelt være en stor utelatelse å ikke ta aktiv del i dem. Først, la oss bygge en velkjent Kartesisk koordinatsystem i rommet. La oss reise oss og gå litt rundt i rommet... gulvet du går på er et fly. La oss legge aksen et sted... vel, for eksempel i et hvilket som helst hjørne, slik at den ikke kommer i veien. Flott. Se nå opp og se for deg at teppet henger der, spredt utover. Dette flate, spesifisert av funksjonen. Vår bevegelse på gulvet, som er lett å forstå, imiterer en endring i uavhengige variabler, og vi kan bevege oss utelukkende under teppet, dvs. V definisjonsdomene for en funksjon av to variabler. Men moroa har så vidt begynt. En liten kakerlakk kryper på teppet rett over nesetippen din, og uansett hvor du går, så gjør den det. La oss kalle ham Freddy. Bevegelsen simulerer en endring i de tilsvarende funksjonsverdiene (bortsett fra de tilfellene når overflaten eller fragmentene er parallelle med planet og høyden ikke endres). Kjære leser ved navn Freddie, ikke bli fornærmet, dette er nødvendig for vitenskapen.

La oss ta en syl i hendene og gjennombore teppet på et vilkårlig punkt, hvis høyde vi vil betegne med , hvoretter vi vil stikke verktøyet inn i gulvet strengt under hullet - dette vil være poenget. La oss nå begynne uendelig nær nærme seg et gitt punkt , og vi har rett til å nærme oss langs ENHVER bane (hvert punkt som selvfølgelig er inkludert i definisjonsdomenet). Hvis i ALLE tilfeller vil Freddy være det uendelig nær kryp til punkteringen til en høyde og AKKURAT DENNE HØYDEN, så har funksjonen en grense i punktet kl. :

Hvis, under de angitte forholdene, det gjennomborede punktet er plassert på kanten av teppet, vil grensen fortsatt eksistere - det er viktig at i vilkårlig lite nabolag spissene på sylen var i det minste noen punkter fra definisjonsdomenet til funksjonen. Dessuten, som tilfellet er med grensen for en funksjon av en variabel, spiller ingen rolle, om funksjonen er definert på et punkt eller ikke. Det vil si at punkteringen vår kan forsegles med tyggegummi (Tenk det funksjonen til to variabler er kontinuerlig) og dette vil ikke påvirke situasjonen - vi husker at selve essensen av grensen innebærer uendelig nær tilnærming, og ikke en "nøyaktig tilnærming" til et punkt.

Et skyfritt liv blir imidlertid overskygget av det faktum at grensen mye oftere ikke eksisterer, i motsetning til sin yngre bror. Dette skyldes det faktum at det vanligvis er mange veier til et bestemt punkt på flyet, og hver av dem må lede Freddy strengt til punkteringen (valgfritt "forseglet med tyggegummi") og strengt tatt til høyden. Og det er mer enn nok bisarre overflater med like bisarre diskontinuiteter, noe som fører til brudd på denne strenge betingelsen på noen punkter.

La oss organisere det enkleste eksemplet - ta en kniv i hendene våre og kutt teppet slik at det gjennomhullede punktet ligger på kuttlinjen. Merk at grensen fortsatt eksisterer, det eneste er at vi har mistet retten til å gå inn i punkter under skjærelinjen, siden dette området "falt ut" av funksjonsdomene. La oss nå forsiktig løfte den venstre delen av teppet langs aksen, og tvert imot, flytte den høyre delen ned eller til og med la den være på plass. Hva endret seg? Og følgende har endret seg fundamentalt: Hvis vi nå nærmer oss et punkt til venstre, vil Freddy være i høyere høyde enn om vi nærmet oss et gitt punkt til høyre. Så det er ingen grense.

Og selvfølgelig fantastiske grenser Hvor ville vi vært uten dem? La oss se på et eksempel som er lærerikt på alle måter:

Eksempel 11

Vi bruker den smertefullt kjente trigonometriske formelen, der vi organiserer ved hjelp av en standard kunstig teknikk første bemerkelsesverdige grenser :

La oss gå videre til polare koordinater:
Hvis da

Det ser ut til at løsningen går mot et naturlig utfall og ingenting forutsier problemer, men helt på slutten er det en stor risiko for å gjøre en alvorlig feil, som jeg allerede har antydet litt i eksempel 3 og beskrevet i detalj. etter eksempel 6. Først slutten, så kommentaren:

La oss finne ut hvorfor det ville være dårlig å skrive bare «uendelig» eller «pluss uendelig». La oss se på nevneren: siden , har den polare radius en tendens til uendelig liten positiv verdi: . Dessuten. Dermed avhenger tegnet på nevneren og hele grensen bare av cosinus:
, hvis den polare vinkelen (2. og 3. koordinatkvartal: );
, hvis den polare vinkelen (1. og 4. koordinatkvartal: ).

Geometrisk betyr dette at hvis du nærmer deg origo fra venstre, så overflaten definert av funksjonen , strekker seg ned til uendelig:

Tenk på flyet og systemet Oxy Kartesiske rektangulære koordinater på den (andre koordinatsystemer kan vurderes).

Fra analytisk geometri vet vi det for hvert ordnet tallpar (x, y) du kan sammenligne et enkelt punkt M plan og omvendt, til hvert punkt M Flyet tilsvarer et enkelt tallpar.

Derfor vil vi i fremtiden, når vi snakker om et punkt, ofte mene det tilsvarende tallparet (x, y) og vice versa.

Definisjon 1.2 Sett med tallpar (x, y) , som tilfredsstiller ulikhetene, kalles et rektangel (åpent).

På planet vil det bli avbildet som et rektangel (fig. 1.2) med sider parallelle med koordinataksene og sentrert i punktet M 0 (x 0 y 0 ) .

Et rektangel er vanligvis betegnet med følgende symbol:

La oss introdusere et viktig konsept for videre diskusjon: nabolaget til et punkt.

Definisjon 1.3 Rektangulær δ -omgivelser ( delta-området ) poeng M 0 (x 0 y 0 ) kalt et rektangel

sentrert på et punkt M 0 og med like lange sider 2δ .

Definisjon 1.4 Rundskriv δ - nabolaget til et punkt M 0 (x 0 y 0 ) kalt en sirkel med radius δ sentrert på et punkt M 0 , dvs. et sett med punkter M(xy) , hvis koordinater tilfredsstiller ulikheten:

Du kan introdusere begrepene nabolag og andre typer, men for formålet med matematisk analyse av tekniske problemer, brukes hovedsakelig bare rektangulære og sirkulære nabolag.

La oss introdusere følgende konsept for grensen for en funksjon av to variabler.

La funksjonen z = f (x, y) definert på et eller annet område ζ Og M 0 (x 0 y 0 ) - et punkt som ligger innenfor eller på grensen til dette området.

Definisjon 1.5Endelig tall EN kalt grense for funksjonen f (x, y) på

hvis for et positivt tall ε kan du finne et så positivt tall δ den ulikheten

utført for alle punkter M(x,y) fra regionen ζ , annerledes enn M 0 (x 0 y 0 ) , hvis koordinater tilfredsstiller ulikhetene:

Betydningen av denne definisjonen er at verdiene til funksjonen f (x, y) avvike så lite som ønsket fra tallet A på punkter i et tilstrekkelig lite nabolag av punktet M 0 .

Her er definisjonen basert på rektangulære nabolag M 0 . Man kan vurdere sirkulære nabolag av punktet M 0 og da ville det være nødvendig å kreve ulikheten

på alle punkter M(x,y) region ζ , annerledes enn M 0 og oppfyller betingelsen:

Avstand mellom punktene M Og M 0 .

Følgende grensebetegnelser brukes:

Gitt definisjonen av grensen for en funksjon av to variabler, kan vi utvide de grunnleggende teoremene om grenser for funksjoner til en variabel til funksjoner av to variable.

For eksempel teoremer om grensen for summen, produktet og kvotienten til to funksjoner.

§3 Kontinuitet av en funksjon av to variabler

La funksjonen z = f (x ,y) definert på punktet M 0 (x 0 y 0 ) og dens omgivelser.

Definisjon 1.6 En funksjon sies å være kontinuerlig i et punkt M 0 (x 0 y 0 ) , Hvis

Hvis funksjonen f(x,y) kontinuerlig på et punkt M 0 (x 0 y 0 ) , Det

Fordi det

Det vil si hvis funksjonen f(x,y) kontinuerlig på et punkt M 0 (x 0 y 0 ) , så tilsvarer uendelige inkrementer av argumenter i dette området uendelige inkrementer Δz funksjoner z .

Det motsatte er også sant: hvis infinitesimale økninger av argumenter tilsvarer infinitesimale inkrementer av funksjonen, så er funksjonen kontinuerlig

En funksjon som er kontinuerlig på hvert punkt i et domene kalles kontinuerlig i domenet. For kontinuerlige funksjoner av to variabler, så vel som for en funksjon av én variabel kontinuerlig på et intervall, er de grunnleggende teoremene til Weierstrass og Bolzano-Cauchy gyldige.

Referanse: Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815 - 1897) - tysk matematiker. Bernard Bolzano (1781 - 1848) - tsjekkisk matematiker og filosof. Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857) - fransk matematiker, president for det franske vitenskapsakademiet (1844 - 1857).

Eksempel 1.4. Undersøk kontinuiteten til en funksjon

Denne funksjonen er definert for alle verdiene til variablene x Og y , bortsett fra ved origo, hvor nevneren går til null.

Polynom x 2 +y 2 er kontinuerlig overalt, og derfor er kvadratroten av en kontinuerlig funksjon kontinuerlig.

Brøken vil være kontinuerlig overalt bortsett fra på punkter der nevneren er null. Det vil si at funksjonen som vurderes er kontinuerlig på hele koordinatplanet Ååå , unntatt opprinnelsen.

Eksempel 1.5. Undersøk kontinuiteten til en funksjon z=tg(x,y) . Tangenten er definert og kontinuerlig for alle endelige verdier av argumentet, bortsett fra verdier lik et oddetall av mengden π/2 , dvs. unntatt punkter hvor

For hver faste "k" ligning (1.11) definerer en hyperbel. Derfor er funksjonen som vurderes en kontinuerlig funksjon x og y , unntatt punkter som ligger på kurver (1.11).